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Why

A price is not a probability unless the person paying it is risk-neutral, and almost nobody is. Once a decision-maker's utility function is concave — diminishing marginal utility of money — they will pay less than the expected value of a lottery to avoid the lottery, and that gap is a risk premium baked into every price they're willing to trade at. Skipping this distinction is the failure mode: reading a Verex mark price as "the market thinks this is 62% likely" without asking what risk premium is embedded in that 62 produces a systematically wrong estimate, worse the further the true probability sits from 50%. This lecture gives the exact formula (expected utility, not expected value) and the exact condition (concavity) that explain why.

How it works

The beauty contest: recursion converges to a Nash equilibrium

Everyone in the room picks an integer from 1 to 100; whoever is closest to two-thirds of the group's average wins (01:14, 01:29). Round 1, with no reason to expect anyone else's reasoning, guesses cluster near two-thirds of a naive average of 50, and the summary reports a winning guess of 24 (02:27, 02:35). Round 2, once players expect everyone else to already be computing two-thirds of the average, the average drops to about 21 and the winner is reported at 14 (04:15). The logic is a fixed point: if the average will be some number x, the best guess is (2/3)x, but everyone believes that too, so the average converges under iteration to (2/3)ⁿ · 50 → 0 as the reasoning steps n grow. That limit, 0, is the game's unique Nash equilibrium (0 or 1 with integer guesses, depending on the tie-break rule) (05:06, 05:21, 07:47). The lecture's aside matters as much as the math: one student wrote 100 not to win but to needle the professor (05:47, 06:11) — proof that a model is only as good as its assumption about payoffs; get the preference wrong and the equilibrium prediction is wrong however correctly you compute it (05:54, 06:01, 06:51).

Rationality is consistency, not the preference itself

Stitching together Myerson's and Aumann's definitions, game theory is "the study of interactive decision-making among intelligent, rational decision-makers" (00:26, 00:43, 09:38, 11:22). Economics takes no position on which preferences are rational: preferring chocolate to vanilla is just a fact about someone's utility, not a rational or irrational claim (12:01, 12:15, 13:01, 13:08). What can be irrational is inconsistency — choosing vanilla over chocolate with no new information, while still claiming to prefer chocolate, violates your own stated preference order (12:20, 13:13). This is the distinction the Auditor formalizes elsewhere: a preference is not a rule that can be broken, a choice can be.

Certainty: ordinal utility, order only

Under certainty the object of choice is a set of outcomes with a preference ranking — coffee C ≻ espresso E ≻ tea T, transitive by assumption (17:10, 17:51) — and "C is preferred to E" is a statement about an observed choice, not an unobservable feeling (18:47, 18:58). A utility function U representing this ranking is ordinal: only the order of the numbers carries information. U₁(C)=5, U₁(E)=4, U₁(T)=1 and U₂(C)=1000, U₂(E)=10, U₂(T)=−50 represent the identical preference, because both preserve C > E > T (20:49, 22:19, 22:35). Any strictly increasing transformation of an ordinal utility function represents the same preferences; the gaps between the numbers are meaningless (23:18, 23:55).

Uncertainty: VNM cardinal utility over lotteries

Choice under uncertainty changes the object being chosen: given a probability P of a clear day and 1−P of rain, the decision-maker isn't picking "walking" or "the subway" as outcomes, they're picking a lottery Δ(Z) — a probability distribution over outcomes (25:21, 33:38, 42:12, 44:21). Each outcome z gets a cardinal utility u(z), and a lottery's value is its expected utility: U(P) = Σᵢ Pᵢ u(Zᵢ) (45:58, 47:12). Because this is a sum weighted by probabilities, the absolute size of u now matters, not just its order (33:07, 33:47, 33:55, 42:27). Worked example: walking gives utility 7 on a clear day and 2 in the rain, so U(Walk) = 7P + 2(1−P) = 2 + 5P; the subway gives a certain utility of 5 regardless of weather, U(Subway) = 5. Setting 2 + 5P = 5 gives the indifference point P = 3/5: strictly prefer walking whenever P > 3/5 (36:21, 37:43). Change the utility numbers and the threshold probability changes with them (39:41) — the numbers are load-bearing here in a way they never were under certainty.

Risk aversion: concave utility and Jensen's inequality

Two money lotteries make the point (51:54, 55:33, 52:11). Lottery A: 99% chance of \$10, 1% chance of \$0, expected value \$9.90 (52:55, 53:13, 54:36). Lottery B: 1% chance of \$1,000, 99% chance of \$0, expected value \$10 (53:23, 54:32). B has the higher expected value, yet most people pick A (54:46, 54:53, 55:07). Risk aversion is defined exactly by this pattern: a decision-maker always prefers receiving the lottery's expected value for certain over the lottery itself, u(E[P]) ≥ U(P) (55:56, 56:04, 56:12, 56:34) — Jensen's inequality applied to utility: for concave u (diminishing marginal utility of money), u(E[X]) ≥ E[u(X)] (55:25, 56:41). People maximize expected utility, not expected money, and the wedge between the two is the risk premium (57:01).

Where it lands in Jayverse

• Verex: price ≠ probability. A mark price is Σ Pᵢ u(payoffᵢ) for the marginal trader, not Pᵢ itself; a risk-averse trader (concave u) compresses near-even markets toward 50% and skews long shots down — the favourite-longshot bias. Read a Verex price as a probability only with that caveat attached, and check resolution price against mark price with this gap in mind rather than treating a divergence as a bug.
• Number: a reading that backs out implied risk aversion. Given a market's price series and its resolution, fit a concave u (e.g. CRRA) that makes observed prices consistent with expected-utility maximization; the fitted curvature is a risk-aversion reading, publishable like any other Number reading, with u's functional form and fit method stated as the methodology.
• Theory neighbours: the base case for 내시균형, 경매, and 메커니즘 디자인. The beauty contest is iterated best-response converging to a Nash equilibrium, the mechanism every later strategic-interaction item assumes; risk aversion under VNM utility is the standing assumption behind 확률·기대값 items on bidding, since an auction's optimal bid depends on the bidder's risk attitude, not just their expected value.
• Auditor: "preferences can't be irrational, choices can" is the Auditor's own distinction. A rule the Auditor checks has to be a consistency rule over observed choices (does this trader's revealed behavior violate transitivity or independence), never a judgment on what payoffs someone "should" want.
• Eng: the two-lottery example is the ready-made interview answer for "explain expected utility." \$9.90-expected-value A beating \$10-expected-value B because of concavity is a 30-second answer that also shows the difference between expected value and expected utility — useful for a team-lead interview question on quant intuition.

Verified and unverified

Verified on 2026-09-19: MIT 14.12, Economic Applications of Game Theory, taught by Muhamet Yildiz, is a real MIT OpenCourseWare course; the beauty-contest / guess-two-thirds-of-the-average game is a well-known experiment (Nagel, 1995) whose unique Nash equilibrium is 0 (or 0/1 with integer constraints and specific tie-break rules); von Neumann–Morgenstern expected utility theory (1944) is the standard framework for choice under uncertainty; risk aversion is equivalent to a concave utility function by Jensen's inequality; Myerson's and Aumann's definitions of game theory, as paraphrased in the lecture, are standard citations in the field. Taken from the summary and not independently checked: the exact round-1 and round-2 winning numbers (24 and 14), every timestamp, and the specific classroom anecdote about the student who wrote 100.

Sources: YouTube — MIT 14.12 Game Theory, Lecture 1: Introduction to Individual Decision-Making · MIT OpenCourseWare, 14.12 Economic Applications of Game Theory (Muhamet Yildiz) · related items: Theory 내시균형, 경매, 메커니즘 디자인, 확률·기대값 · Invest mit-financial-markets-terms-edge, dalio-economic-machine-holy-grail · Tech #62 (agentic engineering writes the boundaries).

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불확실성 하에서 합리적 행위자는 결과가 아니라 복권을 고른다 — 위험 회피는 그저 오목한 효용함수일 뿐이다

MIT 교수 무하메트 일디즈(Muhamet Yildiz)는 14.12 Economic Applications of Game Theory 강의(MIT OpenCourseWare, YouTube, 약 60분)를 게임이 아니라 개인 의사결정론으로 연다. 게임이론은 결국 여러 사람이 동시에 하는 개인 의사결정이기 때문이다. 1강은 케인즈 미인대회 추측 게임을 실제로 진행해 합리적 행위자가 서로를 어떻게 추론하는지 보여주고, "합리적"이 정확히 무엇을 뜻하는지 정의한 뒤, 두 개의 서로 다른 효용 이론을 세운다. 확실성 하의 선택을 위한 서수적 효용, 그리고 불확실성 하의 선택을 위한 폰 노이만-모르겐슈테른(VNM) 기수적 효용이다. 마지막은 위험 회피를 효용함수의 형태(모양)에 관한 성질로 정리한다.

Jayverse에서 이 강의는 마켓 가격을 확률로 읽는 모든 곳의 바닥에 깔린 수학이다. Verex 가격은 위험 회피적 트레이더의 기대 효용이지 원시 확률이 아니며, 같은 기대효용 공식이 정산가와 마크 가격 사이의 괴리를 설명하고 Number 스타일 읽기를 만드는 깔끔한 방법을 준다.

왜

가격을 지불하는 사람이 위험 중립적이지 않은 한 가격은 확률이 아니고, 위험 중립적인 사람은 거의 없다. 의사결정자의 효용함수가 오목(한계효용 체감)하다면, 그는 복권을 피하기 위해 그 복권의 기댓값보다 적게 지불할 것이고, 그 차이가 그가 거래하려는 모든 가격에 녹아든 위험 프리미엄이다. 이 구분을 건너뛰는 것이 실패 모드다. Verex 마크 가격을 "시장은 이걸 62% 확률로 본다"라고, 그 62 안에 어떤 위험 프리미엄이 박혀 있는지 묻지 않고 읽으면, 참 확률이 50%에서 멀어질수록 더 크게 틀리는 체계적 오차가 생긴다. 이 강의는 왜 그런지에 대한 정확한 공식(기댓값이 아니라 기대 효용)과 정확한 조건(오목성)을 준다.

동작 방식

미인대회: 재귀가 내시 균형으로 수렴한다

방 안의 모두가 1부터 100 사이의 정수를 고르고, 전체 평균의 3분의 2에 가장 가까운 사람이 이긴다(01:14, 01:29). 1라운드에서는 다른 사람의 추론을 예측할 근거가 없으니 추측이 평균 50의 3분의 2, 즉 30대 초중반 근처에 몰리고, 요약에 따르면 우승 추측은 24였다(02:27, 02:35). 2라운드에서는 모두가 이미 남들도 평균의 3분의 2를 계산하고 있으리라 기대하므로 평균 자체가 약 21로 내려가고 우승은 14로 보고된다(04:15). 논리는 고정점이다. 평균이 어떤 수 x가 되리라 믿는다면 최선의 추측은 (2/3)x이지만, 모두가 그렇게 믿으므로 평균은 반복에 따라 (2/3)ⁿ · 50 → 0으로 수렴한다(n은 추론 단계 수). 그 극한값 0이 이 게임의 유일한 내시 균형이다(정수 제약과 구체적 동점 처리 규칙에 따라 0 또는 1). 즉 다른 모두의 선택이 주어졌을 때 어떤 다른 선택에도 지배당하지 않는 지점이다(05:06, 05:21, 07:47). 강의의 여담도 수학 못지않게 중요하다. 어떤 학생은 이기려는 게 아니라 교수를 놀리려 100을 썼는데(05:47, 06:11), 이는 모델이 선호(payoff)에 대한 가정만큼만 정확하다는 것을 강의 스스로 증명한 사례다. 선호를 잘못 잡으면 계산을 아무리 정확히 해도 균형 예측은 틀린다(05:54, 06:01, 06:51).

합리성은 선호 자체가 아니라 일관성이다

마이어슨과 아우만의 정의를 이으면, 게임이론은 "지능적이고 합리적인 의사결정자들 간의 상호작용적 의사결정 이론"이다(00:26, 00:43, 09:38, 11:22). 경제학은 어떤 선호가 합리적인지에 대해 입장이 없다. 바닐라보다 초콜릿을 선호하는 것은 그저 그 사람의 효용에 관한 사실일 뿐, 합리적이거나 비합리적인 주장이 아니다(12:01, 12:15, 13:01, 13:08). 비합리적일 수 있는 것은 불일치다. 새 정보 없이 초콜릿을 선호한다고 말하면서 바닐라를 고르면 자기 자신이 밝힌 선호 순서를 위반하는 것이다(12:20, 13:13). 이것이 Auditor가 다른 곳에서 형식화하는 구분과 같다. 선호는 어길 수 있는 규칙이 아니고, 선택이 그럴 수 있다.

확실성: 서수적 효용, 순서만 중요

확실성 하에서 선택의 대상은 선호 순위가 매겨진 결과들의 집합이다. 커피 C ≻ 에스프레소 E ≻ 티 T는 가정에 의해 이행적이고(17:10, 17:51), "C를 E보다 선호한다"는 관찰 불가능한 감정이 아니라 관찰된 선택에 관한 명제다(18:47, 18:58). 이 순위를 표현하는 효용함수 U는 서수적이다. 숫자의 순서만 정보를 담는다. U₁(C)=5, U₁(E)=4, U₁(T)=1과 U₂(C)=1000, U₂(E)=10, U₂(T)=−50은 둘 다 C > E > T를 보존하므로 동일한 선호를 나타낸다(20:49, 22:19, 22:35). 서수적 효용함수에 어떤 순증가 변환을 가해도 같은 선호를 나타내며, 숫자 사이의 간격은 무의미하다(23:18, 23:55).

불확실성: 복권에 대한 VNM 기수적 효용

불확실성 하의 선택은 선택 대상 자체를 바꾼다. 맑을 확률 P, 비 1−P가 주어졌을 때 의사결정자는 "걷기"나 "지하철"이라는 결과를 고르는 게 아니라 복권 Δ(Z), 즉 결과들에 대한 확률분포를 고른다(25:21, 33:38, 42:12, 44:21). 각 결과 z는 기수적 효용 u(z)를 가지고, 복권의 가치는 기대 효용이다. U(P) = Σᵢ Pᵢ u(Zᵢ)(45:58, 47:12). 확률로 가중된 합이므로 이제 u의 절대 크기 자체가 중요하지, 순서만 중요한 게 아니다(33:07, 33:47, 33:55, 42:27). 예시: 걷기는 맑은 날 효용 7, 비 오는 날 효용 2를 주므로 U(걷기) = 7P + 2(1−P) = 2 + 5P이고, 지하철은 날씨와 무관하게 확실한 효용 5를 준다, U(지하철) = 5. 2 + 5P = 5를 풀면 무차별점 P = 3/5가 나온다. P > 3/5일 때 걷기를 엄격히 선호한다(36:21, 37:43). 효용 숫자를 바꾸면 임계 확률도 함께 바뀐다(39:41). 확실성 하에서는 결코 그러지 않았던 방식으로, 여기서는 숫자 자체가 결과를 좌우한다.

위험 회피: 오목한 효용과 옌센 부등식

두 개의 화폐 복권이 핵심을 보여준다(51:54, 55:33, 52:11). 복권 A: 99% 확률로 10달러, 1% 확률로 0달러, 기댓값 9.90달러(52:55, 53:13, 54:36). 복권 B: 1% 확률로 1,000달러, 99% 확률로 0달러, 기댓값 10달러(53:23, 54:32). B의 기댓값이 더 큰데도 대다수는 A를 고른다(54:46, 54:53, 55:07). 위험 회피는 정확히 이 패턴으로 정의된다. 의사결정자는 항상 복권의 기댓값을 확실히 받는 것을 복권 자체보다 선호한다, u(E[P]) ≥ U(P)(55:56, 56:04, 56:12, 56:34). 이는 u가 오목(한계효용 체감)할 때 정확히 성립하며, 이는 효용에 적용한 옌센 부등식이다. 오목한 u에 대해 u(E[X]) ≥ Eu(X). 사람은 기대 화폐가 아니라 기대 효용을 극대화하고, 둘 사이의 쐐기가 위험 프리미엄이다(57:01).

Jayverse에서의 위치

• Verex: 가격 ≠ 확률. 마크 가격은 한계 트레이더의 Σ Pᵢ u(지급ᵢ)이지 Pᵢ 자체가 아니다. 그 트레이더가 위험 회피적(오목한 u)이라면 가격은 반반에 가까운 마켓에서는 50%로 압축되고 롱샷에는 불리하게 왜곡된다 — 전형적인 favourite-longshot bias다. Verex 가격을 "시장의 확률"로 읽는 대시보드는 이 유보를 달아야 하고, 정산가가 마크 가격과 다를 때 그 자체를 버그로 취급하기보다 이 괴리를 감안해 확인해야 한다.
• Number: 내재 위험 회피를 역산하는 읽기. 마켓의 가격 시계열과 최종 정산 결과가 주어지면, 관찰된 가격들이 기대효용 극대화와 일치하도록 만드는 오목한 u(예: CRRA)를 적합시킨다. 적합된 곡률이 위험 회피 읽기이며, u의 함수 형태와 적합 방법을 방법론으로 명시해 다른 Number 읽기처럼 배포할 수 있다.
• Theory 이웃: 이것이 내시균형, 경매, 메커니즘 디자인의 기초 사례다. 미인대회는 내시 균형으로 수렴하는 반복 최선 대응이며, 전략적 상호작용을 다루는 이후 Theory 항목 모두가 전제하는 메커니즘이다. VNM 효용 하의 위험 회피 역시 경매의 입찰 최적화가 기댓값뿐 아니라 입찰자의 위험 태도에도 달려 있다는 점에서, 확률·기대값 항목이 깔고 가는 전제다.
• Auditor: "선호는 비합리적일 수 없고 선택은 그럴 수 있다"는 Auditor 자신의 구분이다. Auditor가 확인하는 규칙은 관찰된 선택 위의 일관성 규칙이어야 한다(이 트레이더의 드러난 행동이 이행성이나 독립성 공리를 위반하는가). 누군가 "어떤 선호를 가져야 하는가"에 대한 판단이어서는 안 된다.
• Eng: 두 복권 예시는 "기대 효용을 설명하라"는 면접 질문에 바로 쓸 수 있는 답이다. 기댓값 9.90달러인 A가 기댓값 10달러인 B를 오목성 때문에 이긴다는 것은 30초 안에 설명되면서 기댓값과 기대 효용의 차이도 함께 보여주는 답으로, 팀 리드 면접의 정량 감각 질문에 쓸 수 있다.

확인된 것과 미확인

2026-09-19 확인: MIT 14.12, Economic Applications of Game Theory는 무하메트 일디즈가 가르치는 실제 MIT OpenCourseWare 강의이고, 미인대회/평균의 3분의 2 맞추기 게임은 잘 알려진 실험(Nagel, 1995)으로 유일한 내시 균형이 0(정수 제약과 구체적 동점 규칙에 따라 0 또는 1)이며, 폰 노이만-모르겐슈테른 기대효용 이론(1944)은 불확실성 하 선택의 표준 프레임워크이고, 위험 회피는 옌센 부등식에 의해 오목한 효용함수와 동치이며, 강의가 바꿔 말한 마이어슨과 아우만의 게임이론 정의는 이 분야의 표준 인용이다. 요약에서 가져왔고 독립 확인하지 않은 것: 1라운드와 2라운드의 정확한 우승 숫자(24와 14), 모든 타임스탬프, 100을 쓴 학생에 대한 구체적 일화.

출처: YouTube — MIT 14.12 Game Theory, Lecture 1: Introduction to Individual Decision-Making · MIT OpenCourseWare, 14.12 Economic Applications of Game Theory (Muhamet Yildiz) · 관련 항목: Theory 내시균형, 경매, 메커니즘 디자인, 확률·기대값 · Invest mit-financial-markets-terms-edge, dalio-economic-machine-holy-grail · Tech #62(에이전틱 엔지니어링은 경계를 쓴다).

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